Olympic Toán học Châu Á - Thái Bình Dương · Năm 2001

Đề thi

Bài 1Với số nguyên dương n, gọi S(n) là tổng các chữ số trong biểu diễn thập phân của n. Một số nguyên dương nhận được bằng cách bỏ ít nhất một chữ số ở cuối bên phải của n được gọi là một stump của n. Gọi T(n) là tổng tất cả các stump của n. Chứng minh n=S(n)+9T(n).Các cách giải: 1
Bài 2Tìm số nguyên dương lớn nhất $N$ sao cho số các số nguyên trong $\{1,2,\dots,N\}$ chia hết cho $3$ bằng số các số nguyên chia hết cho $5$ hoặc $7$ (hoặc cả hai).Các cách giải: 1
Bài 3Cho hai đa giác đều bằng nhau $n$ cạnh $S$ và $T$ trong mặt phẳng sao cho giao của chúng là một đa giác $2n$ cạnh ( $n \ge 3$ ). Các cạnh của $S$ màu đỏ và các cạnh của $T$ màu xanh. Chứng minh tổng độ dài các cạnh xanh của $S\cap T$ bằng tổng độ dài các cạnh đỏ.Các cách giải: 1
Bài 4Một điểm trong mặt phẳng tọa độ Descartes được gọi là điểm hỗn hợp nếu một tọa độ hữu tỉ còn tọa độ kia vô tỉ. Tìm tất cả các đa thức hệ số thực có đồ thị không chứa điểm hỗn hợp.Các cách giải: 1
Bài 5Tìm số nguyên lớn nhất $n$ sao cho tồn tại $n+4$ điểm $A,B,C,D,X_1,\dots,X_n$ trong mặt phẳng với $AB\ne CD$ , và với mỗi $i=1,2,\dots,n$ , hai tam giác $ABX_i$ và $CDX_i$ bằng nhau.Các cách giải: 1