MathLabs

Olympic Toán học Châu Á - Thái Bình Dương · Năm 2002

Đề thi

  1. Bài 1Cho a1,a2,…,ana_1,a_2,\dots,a_n là một dãy số nguyên không âm và đặt An=(a1+a2+⋯+an)/nA_n=(a_1+a_2+\cdots+a_n)/n. Chứng minh a1!a2!⋯an!≥(⌊An⌋!)na_1!a_2!\cdots a_n!\ge (\lfloor A_n\rfloor!)^n, trong đó a!=1⋅2⋯aa!=1\cdot2\cdots a với a≥1a\ge1 và 0!=10!=1. Khi nào xảy ra đẳng thức?Các cách giải: 1
  2. Bài 2Tìm tất cả các số nguyên dương a,ba,b sao cho a2+bb2−a\frac{a^2+b}{b^2-a} và b2+aa2−b\frac{b^2+a}{a^2-b} đều là số nguyên.Các cách giải: 1
  3. Bài 3Cho ABCABC là tam giác đều. Gọi PP là điểm trên ACAC và QQ là điểm trên ABAB sao cho các tam giác ABPABP và ACQACQ nhọn. Gọi RR và SS lần lượt là trực tâm của các tam giác ABPABP và ACQACQ. Gọi TT là điểm chung của hai đoạn BPBP và CQCQ. Tìm mọi giá trị có thể của ∠CBP\angle CBP và ∠BCQ\angle BCQ để tam giác TRSTRS đều.Các cách giải: 1
  4. Bài 4Cho x,y,zx,y,z là các số dương thỏa mãn 1x+1y+1z=1\frac1x+\frac1y+\frac1z=1. Chứng minh x+yz+y+zx+z+xy≥xyz+x+y+z\sqrt{x+yz}+\sqrt{y+zx}+\sqrt{z+xy}\ge\sqrt{xyz}+\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}.Các cách giải: 1
  5. Bài 5Gọi R\mathbb R là tập số thực. Tìm mọi hàm f:R→Rf:\mathbb R\to\mathbb R sao cho (i) chỉ hữu hạn s∈Rs\in\mathbb R thỏa f(s)=0f(s)=0, và (ii) f(x4+y)=x3f(x)+f(f(y))f(x^4+y)=x^3f(x)+f(f(y)) với mọi x,y∈Rx,y\in\mathbb R.Các cách giải: 1