Math Labs

Bài 1

Cho a1,a2,…,ana_1,a_2,\dots,a_n là một dãy số nguyên không âm và đặt An=(a1+a2+⋯+an)/nA_n=(a_1+a_2+\cdots+a_n)/n. Chứng minh a1!a2!⋯an!≥(⌊An⌋!)na_1!a_2!\cdots a_n!\ge (\lfloor A_n\rfloor!)^n, trong đó a!=1⋅2⋯aa!=1\cdot2\cdots a với a≥1a\ge1 và 0!=10!=1. Khi nào xảy ra đẳng thức?
Bước 1 trên 6: Sắp xếp và chọn phần nguyên
Bước trướcBước tiếp
s=⌊An⌋,a1≥a2≥⋯≥an.s=\lfloor A_n\rfloor,\qquad a_1\ge a_2\ge\cdots\ge a_n.
Phân tích chi tiết

Đổi thứ tự không làm thay đổi tích. Đặt s là phần nguyên của trung bình và chọn k sao cho ak≥s≥ak+1a_k\ge s\ge a_{k+1}, với quy ước ở hai đầu.