MathLabs

Bài 2

Tìm tất cả các số nguyên dương a,ba,b sao cho a2+bb2−a\frac{a^2+b}{b^2-a} và b2+aa2−b\frac{b^2+a}{a^2-b} đều là số nguyên.
Bước 3 trên 7: Ép xảy ra hai trường hợp
Bước trướcBước tiếp
b2+aa2−b∈Z>0  ⟹  b2+a≥a2−b  ⟹  (a−b)(a+b)≤a+b  ⟹  a−b≤1.\frac{b^2+a}{a^2-b}\in\mathbb Z_{>0}\implies b^2+a\ge a^2-b\implies (a-b)(a+b)\le a+b\implies a-b\le1.
Phân tích chi tiết

Mẫu số thứ hai dương. Vì thương là số nguyên dương nên tử số không nhỏ hơn mẫu số. Phân tích bất đẳng thức thu được và dùng a+b>0 cho a-b không vượt quá 1.