MathLabs

Bài 4

Cho x,y,zx,y,z là các số dương thỏa mãn 1x+1y+1z=1\frac1x+\frac1y+\frac1z=1. Chứng minh x+yz+y+zx+z+xy≥xyz+x+y+z\sqrt{x+yz}+\sqrt{y+zx}+\sqrt{z+xy}\ge\sqrt{xyz}+\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}.
Bước 2 trên 8: Đặt tên hai vế
Bước trướcBước tiếp
L=∑cycx+yz,R=xyz+x+y+z.L=\sum_{cyc}\sqrt{x+yz},\qquad R=\sqrt{xyz}+\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}.
Phân tích chi tiết

Chỉ cần chứng minh L không nhỏ hơn R; cả hai đều dương nên có thể so sánh bình phương.