MathLabs

Bài 4

Cho x,y,zx,y,z là các số dương thỏa mãn 1x+1y+1z=1\frac1x+\frac1y+\frac1z=1. Chứng minh x+yz+y+zx+z+xy≥xyz+x+y+z\sqrt{x+yz}+\sqrt{y+zx}+\sqrt{z+xy}\ge\sqrt{xyz}+\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}.
Bước 8 trên 8: Kết luận
Bước trướcBước tiếp
L2−R2≥0  ⟹  L≥R.L^2-R^2\ge0\implies L\ge R.
Phân tích chi tiết

Các hạng không chéo của L bình phương và R bình phương bằng nhau vì xy+yz+zx=xyz. Đánh giá đã cộng xử lý mọi hạng chéo, nên L bình phương không nhỏ hơn R bình phương. Đẳng thức xảy ra tại x=y=z=3.