Bài 5

Gọi

\mathbb R

là tập số thực. Tìm mọi hàm

f:\mathbb R\to\mathbb R

sao cho (i) chỉ hữu hạn

s\in\mathbb R

thỏa

f(s)=0

, và (ii)

f(x^4+y)=x^3f(x)+f(f(y))

với mọi

x,y\in\mathbb R

Bước 2 trên 3: Chứng minh tính cộng

Bước trước Bước tiếp

f(x^4+y)=f(x^4)+f(y)

Phân tích chi tiết

Thay $f(f(y))=f(y)$ được $f(x^4+y)=x^3f(x)+f(y)$ . Đặt $y=0$ được $f(x^4)=x^3f(x)$ , nên $f(u+v)=f(u)+f(v)$ khi $u=x^4\ge0$ . So sánh $x$ và $-x$ trong cùng phương trình cho $f(-x)=-f(x)$ với $x\ne0$ , nên tính cộng mở rộng cho mọi $u,v$ thực.