MathLabs

Bài 5

Gọi R\mathbb R là tập số thực. Tìm mọi hàm f:R→Rf:\mathbb R\to\mathbb R sao cho (i) chỉ hữu hạn s∈Rs\in\mathbb R thỏa f(s)=0f(s)=0, và (ii) f(x4+y)=x3f(x)+f(f(y))f(x^4+y)=x^3f(x)+f(f(y)) với mọi x,y∈Rx,y\in\mathbb R.
Bước 3 trên 3: Dùng hữu hạn nghiệm không và kết luận
Bước trướcBước tiếp
Z={s∈R:f(s)=0}={0}  ⟹  f injectiveZ=\{s\in\mathbb R:f(s)=0\}=\{0\}\implies f\text{ injective}
Phân tích chi tiết

Nếu h≠0h\ne0 và f(h)=0f(h)=0, tính cộng cho f(nh)=0f(nh)=0 với mọi số nguyên dương nn, trái với tính hữu hạn. Do đó tập nghiệm không là Z={0}Z=\{0\}; nếu f(a)=f(b)f(a)=f(b) thì f(a−b)=0f(a-b)=0, nên ff đơn ánh. Vì f(f(x))=f(x)f(f(x))=f(x), tính đơn ánh cho f(x)=xf(x)=x. Thay trực tiếp kiểm tra hàm đồng nhất.