MathLabs

Bài 3

Cho k≥14k\ge14 là số nguyên và pkp_k là số nguyên tố lớn nhất nhỏ hơn nghiêm ngặt kk. Có thể giả sử pk≥3k/4p_k\ge3k/4. Cho nn là hợp số. Chứng minh: (a) nếu n=2pkn=2p_k thì nn không chia hết (n−k)!(n-k)!; (b) nếu n>2pkn>2p_k thì nn chia hết (n−k)!(n-k)!.
Bước 2 trên 5: Ước lượng điểm dừng của giai thừa
Bước trướcBước tiếp
n>2pk≥3k/2  ⟹  k≤2n/3  ⟹  n−k≥n/3n>2p_k\ge3k/2\implies k\le2n/3\implies n-k\ge n/3
Phân tích chi tiết

Từ n>2pkn>2p_k và pk≥3k/4p_k\ge3k/4 suy ra n>3k/2n>3k/2, nên k<2n/3k<2n/3 và n−k>n/3n-k>n/3. Ngoài ra k≥14k\ge14 cho pk≥13p_k\ge13, do đó n>26n>26.