Olympic Toán học Châu Á - Thái Bình Dương · Năm 2003

Đề thi

Bài 1Cho $p(x)=x^8-4x^7+7x^6+ax^5+bx^4+cx^3+dx^2+ex+f$ phân tích thành tám nhân tử bậc nhất $x-r_i$ , với $r_i>0$ và $i=1,2,\ldots,8$ . Tìm tất cả các giá trị có thể của $f$ .Các cách giải: 1
Bài 2Cho $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$ . Trên mặt phẳng có hai đường thẳng song song $\ell_1$ và $\ell_2$ cách nhau $a$ đơn vị. Đặt hình vuông sao cho $AB$ và $AD$ cắt $\ell_1$ lần lượt tại $E$ và $F$ , còn $CB$ và $CD$ cắt $\ell_2$ lần lượt tại $G$ và $H$ . Nếu chu vi của $\triangle AEF$ và $\triangle CGH$ là $m_1$ và $m_2$ , chứng minh rằng $m_1+m_2$ không đổi, bất kể vị trí đặt hình.Các cách giải: 1
Bài 3Cho $k\ge14$ là số nguyên và $p_k$ là số nguyên tố lớn nhất nhỏ hơn nghiêm ngặt $k$ . Có thể giả sử $p_k\ge3k/4$ . Cho $n$ là hợp số. Chứng minh: (a) nếu $n=2p_k$ thì $n$ không chia hết $(n-k)!$ ; (b) nếu $n>2p_k$ thì $n$ chia hết $(n-k)!$ .Các cách giải: 1
Bài 4Cho $a,b,c$ là độ dài các cạnh của một tam giác với $a+b+c=1$ , và $n\ge2$ là số nguyên. Chứng minh $\sqrt[n]{a^n+b^n}+\sqrt[n]{b^n+c^n}+\sqrt[n]{c^n+a^n}<1+\frac{2^{1/n}}2$ .Các cách giải: 1
Bài 5Cho các số nguyên dương , tìm số nguyên dương nhỏ nhất sao cho trong mọi nhóm người, hoặc có người chia được thành cặp đôi quen biết nhau, hoặc có người chia được thành cặp đôi không quen biết nhau. $m$ $n$ $k$ $k$ $2m$ $m$ $2n$ $n$ Các cách giải: 1