MathLabs

Bài 3

Cho k≥14k\ge14 là số nguyên và pkp_k là số nguyên tố lớn nhất nhỏ hơn nghiêm ngặt kk. Có thể giả sử pk≥3k/4p_k\ge3k/4. Cho nn là hợp số. Chứng minh: (a) nếu n=2pkn=2p_k thì nn không chia hết (n−k)!(n-k)!; (b) nếu n>2pkn>2p_k thì nn chia hết (n−k)!(n-k)!.
Bước 3 trên 5: Xét lũy thừa của hai
Bước trướcBước tiếp
n=2t (t≥5):n=4⋅2t−2,4,2t−2<n/3n=2^t\ (t\ge5):\qquad n=4\cdot2^{t-2},\qquad 4,2^{t-2}<n/3
Phân tích chi tiết

Nếu n=2tn=2^t thì n>26n>26 buộc t≥5t\ge5. Hai thừa số phân biệt 44 và 2t−22^{t-2} có tích nn, đồng thời đều không vượt quá n/3n/3 (kể cả trường hợp nhỏ nhất n=32n=32). Vì vậy chúng xuất hiện riêng rẽ trong (n−k)!(n-k)!, nên nn chia hết giai thừa đó.