MathLabs

Bài 4

Cho a,b,ca,b,c là độ dài các cạnh của một tam giác với a+b+c=1a+b+c=1, và n≥2n\ge2 là số nguyên. Chứng minh an+bnn+bn+cnn+cn+ann<1+21/n2\sqrt[n]{a^n+b^n}+\sqrt[n]{b^n+c^n}+\sqrt[n]{c^n+a^n}<1+\frac{2^{1/n}}2.
Bước 1 trên 5: Sắp thứ tự và chặn cạnh lớn nhất
Bước trướcBước tiếp
a≥b≥c,a<b+c,a+b+c=1  ⟹  b≤a<12a\ge b\ge c,\qquad a<b+c,\qquad a+b+c=1\implies b\le a<\frac12
Phân tích chi tiết

Đổi tên các cạnh để a≥b≥ca\ge b\ge c. Bất đẳng thức tam giác cho a<b+ca<b+c. Vì a+b+c=1a+b+c=1, suy ra 2a<12a<1, do đó b≤a<1/2b\le a<1/2.