MathLabs

Bài 4

Cho a,b,ca,b,c là độ dài các cạnh của một tam giác với a+b+c=1a+b+c=1, và n≥2n\ge2 là số nguyên. Chứng minh an+bnn+bn+cnn+cn+ann<1+21/n2\sqrt[n]{a^n+b^n}+\sqrt[n]{b^n+c^n}+\sqrt[n]{c^n+a^n}<1+\frac{2^{1/n}}2.
Bước 2 trên 5: Chặn cặp cạnh lớn nhất
Bước trướcBước tiếp
an+bnn<2ann=21/na<21/n2\sqrt[n]{a^n+b^n}<\sqrt[n]{2a^n}=2^{1/n}a<\frac{2^{1/n}}2
Phân tích chi tiết

Vì a,b>0a,b>0 và b≤a<1/2b\le a<1/2, ta có an+bn≤2ana^n+b^n\le2a^n, nên an+bnn≤21/na<21/n/2\sqrt[n]{a^n+b^n}\le2^{1/n}a<2^{1/n}/2.