MathLabs

Bài 4

Cho a,b,ca,b,c là độ dài các cạnh của một tam giác với a+b+c=1a+b+c=1, và n≥2n\ge2 là số nguyên. Chứng minh an+bnn+bn+cnn+cn+ann<1+21/n2\sqrt[n]{a^n+b^n}+\sqrt[n]{b^n+c^n}+\sqrt[n]{c^n+a^n}<1+\frac{2^{1/n}}2.
Bước 3 trên 5: Chặn cặp chứa b và c
Bước trướcBước tiếp
(b+c/2)n>bn+cn  ⟹  bn+cnn<b+c/2(b+c/2)^n>b^n+c^n\implies\sqrt[n]{b^n+c^n}<b+c/2
Phân tích chi tiết

Vì b≥c>0b\ge c>0 và n≥2n\ge2, đặt t=c/b∈(0,1]t=c/b\in(0,1]. Khai triển nhị thức cho (1+t/2)n>1+tn(1+t/2)^n>1+t^n, vì số hạng phụ đầu tiên là nt/2≥tnnt/2\ge t^n và các số hạng còn lại đều dương. Nhân với bnb^n được (b+c/2)n>bn+cn(b+c/2)^n>b^n+c^n, rồi lấy căn bậc nn suy ra bn+cnn<b+c/2\sqrt[n]{b^n+c^n}<b+c/2.