MathLabs

Bài 4

Cho a,b,ca,b,c là độ dài các cạnh của một tam giác với a+b+c=1a+b+c=1, và n≥2n\ge2 là số nguyên. Chứng minh an+bnn+bn+cnn+cn+ann<1+21/n2\sqrt[n]{a^n+b^n}+\sqrt[n]{b^n+c^n}+\sqrt[n]{c^n+a^n}<1+\frac{2^{1/n}}2.
Bước 4 trên 5: Chặn cặp chứa c và a
Bước trướcBước tiếp
(c+a/2)n>cn+an  ⟹  cn+ann<a+c/2(c+a/2)^n>c^n+a^n\implies\sqrt[n]{c^n+a^n}<a+c/2
Phân tích chi tiết

Áp dụng cùng đánh giá cho cặp (a,c)(a,c): vì a≥c>0a\ge c>0, ta có (c+a/2)n>cn+an(c+a/2)^n>c^n+a^n, do đó cn+ann<a+c/2\sqrt[n]{c^n+a^n}<a+c/2.