Bài 4
Với số thực x, ký hiệu floor(x) là số nguyên lớn nhất không vượt quá x. Chứng minh rằng floor((n-1)! chia cho n(n+1)) là số chẵn với mọi số nguyên dương n.
Bước 3 trên 5: Dùng Wilson khi n là số nguyên tố
Phân tích chi tiết
Giả sử n là số nguyên tố lẻ, trường hợp nhỏ n=3 đã xét. Vì n+1 hợp số, n+1 chia hết (n-1)! khi n≥7. Theo Wilson, (n-1)!+1 chia hết cho n, nên (n-1)!+n+1 cũng chia hết cho n; đồng thời nó chia hết cho n+1. Do đó K=((n-1)!+n+1)/(n(n+1)) là số nguyên. Giai thừa có nhiều lũy thừa của 2 hơn n+1, nên K lẻ. Thương trong đề bằng K-1/n, có floor bằng K-1, là số chẵn.