Olympic Toán học Châu Á - Thái Bình Dương · Năm 2004

Đề thi

Bài 1Tìm tất cả các tập hữu hạn khác rỗng $S$ gồm các số nguyên dương thỏa mãn $\frac{i+j}{\gcd(i,j)}\in S$ với mọi $i,j\in S$ .Các cách giải: 1
Bài 2Cho $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp và $H$ là trực tâm của tam giác nhọn $ABC$ . Chứng minh diện tích của một trong các tam giác $\triangle AOH$ , $\triangle BOH$ , $\triangle COH$ bằng tổng diện tích hai tam giác còn lại.Các cách giải: 1
Bài 3Cho S là một tập gồm 2004 điểm trên mặt phẳng, không có ba điểm thẳng hàng, và L là tập mọi đường thẳng xác định bởi từng cặp điểm của S. Một đường thẳng ngăn cách hai điểm nếu chúng nằm ở hai phía đối nhau và không điểm nào nằm trên đường thẳng đó. Chứng minh rằng có thể tô S bằng không quá hai màu sao cho hai điểm cùng màu khi và chỉ khi có một số lẻ đường thẳng trong L ngăn cách chúng.Các cách giải: 1
Bài 4Với số thực x, ký hiệu floor(x) là số nguyên lớn nhất không vượt quá x. Chứng minh rằng floor((n-1)! chia cho n(n+1)) là số chẵn với mọi số nguyên dương n.Các cách giải: 1
Bài 5Chứng minh rằng (a bình phương cộng 2)(b bình phương cộng 2)(c bình phương cộng 2) lớn hơn hoặc bằng 9(ab+bc+ca) với mọi a,b,c dương.Các cách giải: 1