Bài 4
Với số thực x, ký hiệu floor(x) là số nguyên lớn nhất không vượt quá x. Chứng minh rằng floor((n-1)! chia cho n(n+1)) là số chẵn với mọi số nguyên dương n.
Bước 4 trên 5: Dùng Wilson khi n+1 là số nguyên tố
Phân tích chi tiết
Giả sử q=n+1 là số nguyên tố lẻ, nên n=q-1 chẵn và hợp số (trường hợp nhỏ q=3 đã xét). Vì n chia hết (n-1)!+n, còn Wilson cho n!=(q-1)! đồng dư -1 theo modulo q, suy ra (n-1)!+n chia hết cho cả n và q, do đó chia hết cho n(n+1). Đặt K=((n-1)!+n)/(n(n+1)). Với n≥6, giai thừa có nhiều lũy thừa của 2 hơn n, nên ((n-1)!+n)/n là số lẻ; q lẻ nên K lẻ. Thương trong đề bằng K-1/(n+1), có floor bằng K-1, là số chẵn.