Bài 2

Chứng minh rằng mọi số nguyên dương đều viết được thành tổng hữu hạn các lũy thừa nguyên phân biệt của số vàng

\phi=\frac{1+\sqrt5}{2}

. Ở đây lũy thừa nguyên có dạng

\phi^i

với

i

là số nguyên, không nhất thiết dương.

Bước 2 trên 5: Chuẩn hóa khai triển

Bước trước Bước tiếp

N=\sum_{i=-k}^{k}a_i\phi^i,\qquad a_i\in\{0,1\},\quad a_i a_{i+1}=0

Phân tích chi tiết

Theo giả thiết quy nạp, $N-1$ có khai triển hữu hạn $\sum a_i\phi^i$ với $a_i\in\{0,1\}$ . Lặp lại việc thay cặp 1 liên tiếp bên trái nhất bằng $\phi^{i+1}+\phi^i=\phi^{i+2}$ . Quá trình kết thúc vì cặp liên tiếp bên trái nhất chuyển lên số mũ lớn hơn, và thu được $a_i a_{i+1}=0$ với mọi $i$ .