Olympic Toán học Châu Á - Thái Bình Dương · Năm 2006

Đề thi

Bài 1Cho $n$ là số nguyên dương. Tìm số thực không âm lớn nhất $f(n)$ sao cho mỗi khi các số thực $a_1,a_2,\ldots,a_n$ có tổng là một số nguyên, tồn tại chỉ số $i$ thỏa $\left|a_i-\frac12\right|\ge f(n)$ .Các cách giải: 1
Bài 2Chứng minh rằng mọi số nguyên dương đều viết được thành tổng hữu hạn các lũy thừa nguyên phân biệt của số vàng $\phi=\frac{1+\sqrt5}{2}$ . Ở đây lũy thừa nguyên có dạng $\phi^i$ với $i$ là số nguyên, không nhất thiết dương.Các cách giải: 1
Bài 3Cho $p\ge5$ là một số nguyên tố. Gọi $r$ là số cách đặt $p$ quân cờ giống nhau trên bàn cờ $p\times p$ sao cho không phải tất cả quân cờ đều nằm trên cùng một hàng (chúng có thể cùng nằm trên một cột). Chứng minh rằng $r$ chia hết cho $p^5$ .Các cách giải: 1
Bài 4Cho $A,B$ là hai điểm phân biệt trên đường tròn $O$ , và $P$ là trung điểm của $AB$ . Gọi $O_1$ là đường tròn tiếp xúc với đường thẳng $AB$ tại $P$ và tiếp xúc với $O$ . Gọi $\ell$ là tiếp tuyến qua $A$ của $O_1$ , khác $AB$ , và $C$ là giao điểm khác $A$ của $\ell$ với $O$ . Gọi $Q$ là trung điểm của $BC$ , và $O_2$ là đường tròn tiếp xúc với đường thẳng $BC$ tại $Q$ và tiếp xúc với đoạn thẳng $AC$ . Chứng minh $O_2$ tiếp xúc với $O$ .Các cách giải: 1
Bài 5Trong một rạp xiếc, $n$ chú hề mặc đồ và hóa trang bằng một tập gồm 12 màu phân biệt. Mỗi chú hề phải dùng ít nhất năm màu khác nhau. Ông bầu yêu cầu không có hai chú hề nào dùng đúng cùng một tập màu và không quá 20 chú hề được dùng mỗi màu cụ thể. Tìm $n$ lớn nhất.Các cách giải: 1