Bài 2

Chứng minh rằng mọi số nguyên dương đều viết được thành tổng hữu hạn các lũy thừa nguyên phân biệt của số vàng

\phi=\frac{1+\sqrt5}{2}

. Ở đây lũy thừa nguyên có dạng

\phi^i

với

i

là số nguyên, không nhất thiết dương.

Bước 4 trên 5: Chuyển chữ số đơn vị khỏi số mũ không

Bước trước Bước tiếp

\cdots1.00\cdots=\cdots0.11\cdots,\qquad 1=\phi^{-1}+\phi^{-2}

Phân tích chi tiết

Giả sử $a_0=1$ . Nếu ngay bên phải có hai số không, dùng $1=\phi^{-1}+\phi^{-2}$ thay khối $1.00$ bằng $0.11$ , làm $a_0=0$ . Nếu phía phải bắt đầu bằng $0100$ , trước hết đổi $0100$ thành $0011$ rồi dùng đẳng thức cho $11$ ; lặp lại đưa số 1 bên phải đến khi xuất hiện $100$ ở tận cùng. Cùng phép chuyển đó cho biểu diễn có $a_0=0$ và không có 1 liên tiếp.