MathLabs

Bài 4

Cho x,y,zx,y,z là các số thực dương thỏa x+y+z=1x+y+z=1. Chứng minh rằng x2+yz2x2(y+z)+y2+zx2y2(z+x)+z2+xy2z2(x+y)≥1\frac{x^2+yz}{\sqrt{2x^2(y+z)}}+\frac{y^2+zx}{\sqrt{2y^2(z+x)}}+\frac{z^2+xy}{\sqrt{2z^2(x+y)}}\ge1.
Bước 2 trên 5: Viết ba phân tích
Bước trướcBước tiếp
x2+yz2x2(y+z)=y+z2+(x−y)(x−z)2x2(y+z)\frac{x^2+yz}{\sqrt{2x^2(y+z)}}=\sqrt{\frac{y+z}{2}}+\frac{(x-y)(x-z)}{\sqrt{2x^2(y+z)}}
Phân tích chi tiết

Chẳng hạn, x(y+z)2x2(y+z)=y+z2\frac{x(y+z)}{\sqrt{2x^2(y+z)}}=\sqrt{\frac{y+z}{2}}. Vì vậy vế trái bằng ∑cycy+z2\sum_{cyc}\sqrt{\frac{y+z}{2}} cộng ba số dư nhận được từ các dạng tuần hoàn của đẳng thức này.