MathLabs

Olympic Toán học Châu Á - Thái Bình Dương · Năm 2007

Đề thi

  1. Bài 1Cho SS là một tập gồm 9 số nguyên phân biệt, tất cả các ước nguyên tố của chúng đều không lớn hơn 3. Chứng minh rằng SS chứa 3 số nguyên phân biệt có tích là một lập phương hoàn chỉnh.Các cách giải: 1
  2. Bài 2Cho ABCABC là tam giác nhọn với ∠BAC=60∘\angle BAC=60^\circ và AB>ACAB>AC. Gọi II là tâm đường tròn nội tiếp và HH là trực tâm. Chứng minh 2∠AHI=3∠ABC2\angle AHI=3\angle ABC.Các cách giải: 1
  3. Bài 3Xét nn hình tròn C1,C2,…,CnC_1,C_2,\ldots,C_n trong mặt phẳng sao cho với mọi 1≤i<n1\le i<n, tâm của CiC_i nằm trên đường tròn của Ci+1C_{i+1}, và tâm của CnC_n nằm trên đường tròn của C1C_1. Định nghĩa điểm là số cặp (i,j)(i,j) sao cho CiC_i chứa thực sự CjC_j. Tìm điểm lớn nhất có thể.Các cách giải: 1
  4. Bài 4Cho x,y,zx,y,z là các số thực dương thỏa x+y+z=1x+y+z=1. Chứng minh rằng x2+yz2x2(y+z)+y2+zx2y2(z+x)+z2+xy2z2(x+y)≥1\frac{x^2+yz}{\sqrt{2x^2(y+z)}}+\frac{y^2+zx}{\sqrt{2y^2(z+x)}}+\frac{z^2+xy}{\sqrt{2z^2(x+y)}}\ge1.Các cách giải: 1
  5. Bài 5Một bảng đèn vuông 5×55\times5 bị hỏng: bật công tắc của một đèn làm đổi trạng thái của đèn đó và mỗi đèn kề nó trong cùng hàng hoặc cùng cột. Ban đầu mọi đèn đều tắt. Sau một số lần bật tắt, đúng một đèn sáng. Tìm mọi vị trí có thể của đèn đó.Các cách giải: 1