MathLabs

Bài 4

Cho x,y,zx,y,z là các số thực dương thỏa x+y+z=1x+y+z=1. Chứng minh rằng x2+yz2x2(y+z)+y2+zx2y2(z+x)+z2+xy2z2(x+y)≥1\frac{x^2+yz}{\sqrt{2x^2(y+z)}}+\frac{y^2+zx}{\sqrt{2y^2(z+x)}}+\frac{z^2+xy}{\sqrt{2z^2(x+y)}}\ge1.
Bước 3 trên 5: Chứng minh tổng số dư không âm
Bước trướcBước tiếp
x≥y≥z⟹Rx≥0,Rz+Ry≥(y−z)(x−y)(12z2(x+y)−12y2(z+x))≥0x\ge y\ge z\Longrightarrow R_x\ge0,\quad R_z+R_y\ge (y-z)(x-y)\left(\frac1{\sqrt{2z^2(x+y)}}-\frac1{\sqrt{2y^2(z+x)}}\right)\ge0
Phân tích chi tiết

Do đối xứng, giả sử x≥y≥zx\ge y\ge z. Số dư của xx không âm. Ghép hai số dư còn lại: thay x−zx-z bằng số nhỏ hơn x−yx-y được Ry+Rz≥(y−z)(x−y)(12z2(x+y)−12y2(z+x))R_y+R_z\ge (y-z)(x-y)\left(\frac1{\sqrt{2z^2(x+y)}}-\frac1{\sqrt{2y^2(z+x)}}\right). Ngoặc cuối không âm vì y≥zy\ge z và y2(x+z)≥z2(x+y)y^2(x+z)\ge z^2(x+y).