MathLabs

Bài 4

Cho x,y,zx,y,z là các số thực dương thỏa x+y+z=1x+y+z=1. Chứng minh rằng x2+yz2x2(y+z)+y2+zx2y2(z+x)+z2+xy2z2(x+y)≥1\frac{x^2+yz}{\sqrt{2x^2(y+z)}}+\frac{y^2+zx}{\sqrt{2y^2(z+x)}}+\frac{z^2+xy}{\sqrt{2z^2(x+y)}}\ge1.
Bước 4 trên 5: Đánh giá phần căn
Bước trướcBước tiếp
∑cycy+z2≥(y+z)+(z+x)+(x+y)2=1\sum_{cyc}\sqrt{\frac{y+z}{2}}\ge\sqrt{\frac{(y+z)+(z+x)+(x+y)}2}=1
Phân tích chi tiết

Bất đẳng thức Cauchy–Schwarz cho ∑cycy+z2≥(y+z)+(z+x)+(x+y)2\sum_{cyc}\sqrt{\frac{y+z}{2}}\ge\sqrt{\frac{(y+z)+(z+x)+(x+y)}2}. Vì x+y+z=1x+y+z=1, vế phải bằng 11.