Olympic Toán học Châu Á - Thái Bình Dương · Năm 2008

Đề thi

Bài 1Cho tam giác $ABC$ có $\angle A<60^\circ$ . Gọi $X$ và $Y$ lần lượt là các điểm trên các cạnh $AB$ và $AC$ sao cho $CA+AX=CB+BX$ và $BA+AY=BC+CY$ . Gọi $P$ là điểm trong mặt phẳng sao cho các đường thẳng $PX$ và $PY$ lần lượt vuông góc với $AB$ và $AC$ . Chứng minh rằng $\angle BPC<120^\circ$ .Các cách giải: 1
Bài 2Các học sinh trong một lớp được chia thành các nhóm, mỗi nhóm có đúng ba thành viên, sao cho hai nhóm phân biệt bất kỳ có nhiều nhất một thành viên chung. Chứng minh rằng khi sĩ số lớp là 46, tồn tại một tập gồm 10 học sinh không chứa trọn vẹn nhóm nào.Các cách giải: 1
Bài 3Cho $\Gamma$ là đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ . Một đường tròn đi qua điểm $A$ và điểm $C$ lần lượt cắt cạnh $BC$ và cạnh $BA$ tại $D$ và $E$ . Các đường thẳng $AD$ và $CE$ lại cắt $\Gamma$ tại $G$ và $H$ . Các tiếp tuyến của $\Gamma$ tại $A$ và tại $C$ cắt đường thẳng $DE$ lần lượt tại $L$ và $M$ . Chứng minh rằng hai đường thẳng $LH$ và $MG$ cắt nhau tại một điểm trên $\Gamma$ .Các cách giải: 1
Bài 4Xét hàm $f:\mathbb N_0\to\mathbb N_0$ , trong đó $\mathbb N_0$ là tập các số nguyên không âm, được xác định bởi $f(0)=0$ , $f(2n)=2f(n)$ và $f(2n+1)=n+2f(n)$ với mọi $n\ge0$ . (a) Xác định ba tập $L=\{n\mid f(n)<f(n+1)\}$ , $E=\{n\mid f(n)=f(n+1)\}$ và $G=\{n\mid f(n)>f(n+1)\}$ . (b) Với mỗi $k\ge0$ , tìm công thức theo $k$ của $a_k=\max\{f(n):0\le n\le2^k\}$ .Các cách giải: 1
Bài 5Cho $a,b,c$ là các số nguyên thỏa mãn $0<a<c-1$ và $1<b<c$ . Với mỗi $k$ , $0\le k\le a$ , gọi $r_k$ , $0\le r_k<c$ , là số dư của $kb$ khi chia cho $c$ . Chứng minh rằng hai tập $\{r_0,r_1,r_2,\ldots,r_a\}$ và $\{0,1,2,\ldots,a\}$ khác nhau.Các cách giải: 1