Olympic Toán học Châu Á - Thái Bình Dương · Năm 2010

Đề thi

Bài 1Cho tam giác $ABC$ với $\angle BAC\ne90^\circ$ . Gọi $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ và $\Gamma$ là đường tròn ngoại tiếp tam giác $BOC$ . Giả sử $\Gamma$ cắt đoạn $AB$ tại $P\ne B$ và đoạn $AC$ tại $Q\ne C$ . Gọi $ON$ là đường kính của $\Gamma$ . Chứng minh tứ giác $APNQ$ là hình bình hành.Các cách giải: 1
Bài 2Với số nguyên dương $k$ , gọi một số nguyên là lũy thừa thuần bậc $k$ nếu nó có dạng $m^k$ với một số nguyên $m$ . Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương $n$ , tồn tại $n$ số nguyên dương đôi một khác nhau có tổng là lũy thừa thuần bậc $2009$ và tích là lũy thừa thuần bậc $2010$ .Các cách giải: 1
Bài 3Cho $n$ là một số nguyên dương. Có $n$ người tham gia một buổi tiệc. Với mỗi cặp người, hai người đó hoặc quen nhau hoặc không quen nhau. Hỏi số cặp không quen nhau nhưng có một người quen chung giữa những người tham gia có thể lớn nhất là bao nhiêu?Các cách giải: 1
Bài 4Cho tam giác nhọn $ABC$ với $AB>BC$ và $AC>BC$ . Gọi $O,H$ lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp và trực tâm. Đường tròn ngoại tiếp tam giác $AHC$ cắt đường thẳng $AB$ lần nữa tại $M$ , còn đường tròn ngoại tiếp tam giác $AHB$ cắt đường thẳng $AC$ lần nữa tại $N$ . Chứng minh tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $MNH$ nằm trên đường thẳng $OH$ .Các cách giải: 1
Bài 5Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb R\to\mathbb R$ sao cho với mọi $x,y,z\in\mathbb R$ , $f(f(x)+f(y)+f(z))=f(f(x)-f(y))+f(2xy+f(z))+2f(xz-yz)$ .Các cách giải: 1