Bài 3

Với 2k số thực a_1, ..., a_k, b_1, ..., b_k, định nghĩa X_n là tổng từ i=1 đến k của floor(a_i n+b_i), với n=1,2,... . Nếu dãy X_n là cấp số cộng, chứng minh tổng từ i=1 đến k của a_i là số nguyên. Ở đây floor(r) là số nguyên lớn nhất không vượt quá r.

Bước 2 trên 5: Kẹp X_n

Bước trước Bước tiếp

a_i n+b_i-1<\lfloor a_i n+b_i\rfloor\le a_i n+b_i\Longrightarrow An+B-k<X_n\le An+B.

Phân tích chi tiết

Áp dụng bất đẳng thức định nghĩa phần nguyên cho mọi i rồi cộng lại. Cận dưới nghiêm ngặt là đủ cho bước so sánh sau.