Olympic Toán học Châu Á - Thái Bình Dương · Năm 2013
Đề thi
- Bài 1Cho ABC là tam giác nhọn có các đường cao AD, BE và CF, và O là tâm đường tròn ngoại tiếp. Chứng minh rằng các đoạn OA, OF, OB, OD, OC, OE chia tam giác ABC thành ba cặp tam giác có diện tích bằng nhau.Các cách giải: 1
- Bài 2Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho (n^2+1)/(floor(sqrt(n))^2+2) là số nguyên. Ở đây floor(r) là số nguyên lớn nhất không vượt quá r.Các cách giải: 1
- Bài 3Với 2k số thực a_1, ..., a_k, b_1, ..., b_k, định nghĩa X_n là tổng từ i=1 đến k của floor(a_i n+b_i), với n=1,2,... . Nếu dãy X_n là cấp số cộng, chứng minh tổng từ i=1 đến k của a_i là số nguyên. Ở đây floor(r) là số nguyên lớn nhất không vượt quá r.Các cách giải: 1
- Bài 4Cho a và b là các số nguyên dương, A và B là các tập hữu hạn số nguyên thỏa mãn: (i) A và B rời nhau; (ii) nếu một số nguyên i thuộc A hoặc B thì i+a thuộc A hoặc i-b thuộc B. Chứng minh a|A|=b|B|, trong đó |X| là số phần tử của X.Các cách giải: 1
- Bài 5Cho ABCD là tứ giác nội tiếp đường tròn omega, và P là điểm trên phần kéo dài của AC sao cho PB và PD là các tiếp tuyến của omega. Tiếp tuyến tại C cắt PD tại Q và đường thẳng AD tại R. Gọi E là giao điểm thứ hai của AQ với omega. Chứng minh B, E, R thẳng hàng.Các cách giải: 1