Bài 3

Với 2k số thực a_1, ..., a_k, b_1, ..., b_k, định nghĩa X_n là tổng từ i=1 đến k của floor(a_i n+b_i), với n=1,2,... . Nếu dãy X_n là cấp số cộng, chứng minh tổng từ i=1 đến k của a_i là số nguyên. Ở đây floor(r) là số nguyên lớn nhất không vượt quá r.

Bước 5 trên 5: Cho n tăng

Bước trước Bước tiếp

|A-d|<\frac{k}{n}\text{ for every }n\ge1\Longrightarrow A=d\in\mathbb Z.

Phân tích chi tiết

Bất đẳng thức đúng với mọi số nguyên dương n, nên vế trái phải bằng 0. Do đó A=d, mà d nguyên; vậy tổng các a_i là số nguyên.