Bài 4

Cho a và b là các số nguyên dương, A và B là các tập hữu hạn số nguyên thỏa mãn: (i) A và B rời nhau; (ii) nếu một số nguyên i thuộc A hoặc B thì i+a thuộc A hoặc i-b thuộc B. Chứng minh a|A|=b|B|, trong đó |X| là số phần tử của X.

Bước 2 trên 5: Buộc các hợp bằng nhau

Bước trước Bước tiếp

A\cup B\subseteq A^*\cup B^*,\quad |A^*\cup B^*|\le|A^*|+|B^*|=|A|+|B|=|A\cup B|.

Phân tích chi tiết

Điều kiện (ii) đưa mọi phần tử của A∪B vào A hoặc B. Tịnh tiến bảo toàn số phần tử, còn A,B rời nhau, nên chuỗi bất đẳng thức có hai đầu bằng nhau. Vì vậy mọi bất đẳng thức đều là đẳng thức.