Bài 1

Với số nguyên dương

m

, ký hiệu

S(m)

và

P(m)

lần lượt là tổng và tích các chữ số của

m

. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương

n

, tồn tại các số nguyên dương

a_1,a_2,\ldots,a_n

thỏa mãn

S(a_1)<S(a_2)<\cdots<S(a_n)

và

S(a_i)=P(a_{i+1})

với

i=1,2,\ldots,n

, trong đó

a_{n+1}=a_1

Bước 1 trên 3: Dựng các số ở giữa

Bước trước Bước tiếp

a_i:\;2\text{ occurs }k+i-2\text{ times},\quad 1\text{ occurs }2^{k+i-1}-2(k+i-2)\text{ times}\quad(2\le i\le n)

Phân tích chi tiết

Chọn số nguyên dương k đủ lớn. Với mỗi chỉ số từ 2 đến n, cho các chữ số của a_i chỉ gồm hai và một, với số lần xuất hiện như trong công thức. Khi k đủ lớn, số chữ số một là không âm.