Bài 1

Với số nguyên dương

m

, ký hiệu

S(m)

và

P(m)

lần lượt là tổng và tích các chữ số của

m

. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương

n

, tồn tại các số nguyên dương

a_1,a_2,\ldots,a_n

thỏa mãn

S(a_1)<S(a_2)<\cdots<S(a_n)

và

S(a_i)=P(a_{i+1})

với

i=1,2,\ldots,n

, trong đó

a_{n+1}=a_1

Bước 3 trên 3: Khép chu trình

Bước trước Bước tiếp

a_1:\;2\text{ occurs }k+n-1\text{ times},\quad 1\text{ occurs }2^k-2(k+n-1)\text{ times}

Phân tích chi tiết

Chọn $a_1$ với số chữ số như công thức; điều này thực hiện được khi $2^k>2(k+n-1)$ . Khi đó $S(a_1)=2^k$ và $P(a_1)=2^{k+n-1}$ . Vì vậy các tổng tăng nghiêm ngặt, mỗi $S(a_i)$ bằng tích kế tiếp, và $S(a_n)=P(a_1)$ , nên mọi yêu cầu đều đúng.