MathLabs

Bài 3

Tìm mọi số nguyên dương nn sao cho với mọi số nguyên kk, tồn tại số nguyên aa để a3+a−ka^3+a-k chia hết cho nn.
Bước 3 trên 4: Các nguyên tố đồng dư ba theo môđun bốn không được
Bước trướcBước tiếp
p≡3(mod4)⟹∃a≠b: a3+a≡b3+b(modp)p\equiv3\pmod4\Longrightarrow\exists a\ne b:\ a^3+a\equiv b^3+b\pmod p
Phân tích chi tiết

Với p đồng dư ba theo môđun bốn, gọi C là tập gồm không và các thặng dư bậc hai. Các giá trị của bình phương x cộng x cộng một có đúng (p+1)/2 giá trị phân biệt, nên chúng là không và mọi phần tử của C. Viết mỗi bình phương dưới dạng (2w+1) bình phương cho thấy C đóng dưới phép cộng ba; vì p khác ba, điều này buộc mọi thặng dư thuộc C, mâu thuẫn. Do đó có x để bình phương x cộng x cộng một là thặng dư không bậc hai. Vì các số âm của bình phương chính là các thặng dư không bậc hai, chọn a,b khác không sao cho bình phương a cộng ab cộng bình phương b bằng âm một. Nếu a=b, thay cặp bằng 2a và âm a để được cặp khác; nếu không, phân tích nhân tử cho va chạm cần thiết.