Olympic Toán học Châu Á - Thái Bình Dương · Năm 2015

Đề thi

Bài 1Cho tam giác $ABC$ , và $D$ là điểm trên cạnh $BC$ . Một đường thẳng qua $D$ cắt cạnh $AB$ tại $X$ và tia $AC$ tại $Y$ . Đường tròn ngoại tiếp tam giác $BXD$ cắt lại đường tròn $\omega$ ngoại tiếp tam giác $ABC$ tại $Z\ne B$ . Các đường $ZD$ và $ZY$ lần lượt cắt lại $\omega$ tại $V$ và $W$ . Chứng minh $AB=VW$ .Các cách giải: 1
Bài 2Gọi $S=\{2,3,4,\ldots\}$ là tập các số nguyên lớn hơn hoặc bằng $2$ . Có tồn tại hàm $f:S\to S$ sao cho $f(a)f(b)=f(a^2b^2)$ với mọi $a,b\in S$ và $a\ne b$ không?Các cách giải: 1
Bài 3Một dãy số thực $a_0,a_1,\ldots$ gọi là tốt nếu: (i) $a_0$ là số nguyên dương; (ii) với mọi $i$ không âm, $a_{i+1}=2a_i+1$ hoặc $a_{i+1}=\frac{a_i}{a_i+2}$ ; (iii) tồn tại số nguyên dương $k$ sao cho $a_k=2014$ . Tìm số nguyên dương nhỏ nhất $n$ để tồn tại dãy tốt có $a_n=2014$ .Các cách giải: 1
Bài 4Cho $n$ là số nguyên dương. Xét $2n$ đường thẳng phân biệt trên mặt phẳng, không có hai đường nào song song. Trong số $2n$ đường thẳng, $n$ đường màu xanh và $n$ đường màu đỏ. Gọi $B$ là tập các điểm nằm trên ít nhất một đường xanh, và $R$ là tập các điểm nằm trên ít nhất một đường đỏ. Chứng minh tồn tại một đường tròn cắt $B$ đúng $2n-1$ điểm và cũng cắt $R$ đúng $2n-1$ điểm.Các cách giải: 1
Bài 5Xác định mọi dãy số nguyên dương $a_0,a_1,a_2,\ldots$ với $a_0\ge2015$ sao cho với mọi số nguyên $n\ge1$ : (i) $a_{n+2}$ chia hết cho $a_n$ ; (ii) $|s_{n+1}-(n+1)a_n|=1$ , trong đó $s_{n+1}=a_{n+1}-a_n+a_{n-1}-\cdots+(-1)^{n+1}a_0$ .Các cách giải: 1