MathLabs

Bài 3

Một dãy số thực a0,a1,…a_0,a_1,\ldots gọi là tốt nếu: (i) a0a_0 là số nguyên dương; (ii) với mọi ii không âm, ai+1=2ai+1a_{i+1}=2a_i+1 hoặc ai+1=aiai+2a_{i+1}=\frac{a_i}{a_i+2}; (iii) tồn tại số nguyên dương kk sao cho ak=2014a_k=2014. Tìm số nguyên dương nhỏ nhất nn để tồn tại dãy tốt có an=2014a_n=2014.
Bước 3 trên 4: Dùng bất biến môđun
Bước trướcBước tiếp
(mi,ni)≡(−2i,2i)(mod2015)(m_i,n_i)\equiv(-2^i,2^i)\pmod{2015}
Phân tích chi tiết

Hai phép cập nhật ngược bảo toàn đồng dư trong công thức bằng quy nạp. Vì a_0 phải là số nguyên và phân số đã tối giản, mẫu số của nó bằng một. Do đó 2^k đồng dư một theo môđun 2015.