MathLabs

Bài 5

Xác định mọi dãy số nguyên dương a0,a1,a2,…a_0,a_1,a_2,\ldots với a0≥2015a_0\ge2015 sao cho với mọi số nguyên n≥1n\ge1: (i) an+2a_{n+2} chia hết cho ana_n; (ii) ∣sn+1−(n+1)an∣=1|s_{n+1}-(n+1)a_n|=1, trong đó sn+1=an+1−an+an−1−⋯+(−1)n+1a0s_{n+1}=a_{n+1}-a_n+a_{n-1}-\cdots+(-1)^{n+1}a_0.
Bước 1 trên 5: Đổi điều kiện trị tuyệt đối thành truy hồi
Bước trướcBước tiếp
sn+1=(n+1)an+hn,hn∈{−1,1},an+1=(n+1)an+nan−1+δn,δn∈{−2,0,2}s_{n+1}=(n+1)a_n+h_n,\quad h_n\in\{-1,1\},\qquad a_{n+1}=(n+1)a_n+na_{n-1}+\delta_n,\quad \delta_n\in\{-2,0,2\}
Phân tích chi tiết

Đặt các dấu h_n. So sánh hai tổng luân phiên liên tiếp và dùng đồng nhất thức tổng của chúng bằng số hạng kế tiếp, ta được truy hồi trong công thức, với sai số chỉ có ba giá trị chẵn.