MathLabs

Bài 5

Xác định mọi dãy số nguyên dương a0,a1,a2,…a_0,a_1,a_2,\ldots với a0≥2015a_0\ge2015 sao cho với mọi số nguyên n≥1n\ge1: (i) an+2a_{n+2} chia hết cho ana_n; (ii) ∣sn+1−(n+1)an∣=1|s_{n+1}-(n+1)a_n|=1, trong đó sn+1=an+1−an+an−1−⋯+(−1)n+1a0s_{n+1}=a_{n+1}-a_n+a_{n-1}-\cdots+(-1)^{n+1}a_0.
Bước 3 trên 5: Dùng tính chia hết giữa hai chặn sắc
Bước trướcBước tiếp
(n2+5n+3)an<an+2<(n2+5n+5)an⟹an+2=(n+1)(n+4)an(n≥4)(n^2+5n+3)a_n<a_{n+2}<(n^2+5n+5)a_n\Longrightarrow a_{n+2}=(n+1)(n+4)a_n\quad(n\ge4)
Phân tích chi tiết

Thế truy hồi hai lần và dùng chặn dưới để được các bất đẳng thức nghiêm ngặt. Vì ana_n chia hết an+2a_{n+2}, thương là số nguyên nằm giữa hai hệ số nguyên kề nhau; nó phải bằng n2+5n+4n^2+5n+4, phân tích được như công thức.