MathLabs

Bài 5

Xác định mọi dãy số nguyên dương a0,a1,a2,…a_0,a_1,a_2,\ldots với a0≥2015a_0\ge2015 sao cho với mọi số nguyên n≥1n\ge1: (i) an+2a_{n+2} chia hết cho ana_n; (ii) ∣sn+1−(n+1)an∣=1|s_{n+1}-(n+1)a_n|=1, trong đó sn+1=an+1−an+an−1−⋯+(−1)n+1a0s_{n+1}=a_{n+1}-a_n+a_{n-1}-\cdots+(-1)^{n+1}a_0.
Bước 4 trên 5: Ép tỉ số một bước
Bước trướcBước tiếp
an+1=(n+1)(n+3)n+2an(n≥1)a_{n+1}=\frac{(n+1)(n+3)}{n+2}a_n\quad(n\ge1)
Phân tích chi tiết

Áp dụng đồng nhất thức hai bước ở các chỉ số liên tiếp rồi so sánh với truy hồi ban đầu cho thấy sai số bằng không khi n ít nhất bốn, suy ra tỉ số trong công thức. Nếu tỉ số sai ở một trong ba chỉ số đầu, chọn chỉ số lớn nhất; các quan hệ chia hết buộc a_m chia một số không quá 14, trái với chặn dưới. Vậy tỉ số đúng với mọi n ít nhất một.