MathLabs

Bài 5

Xác định mọi dãy số nguyên dương a0,a1,a2,…a_0,a_1,a_2,\ldots với a0≥2015a_0\ge2015 sao cho với mọi số nguyên n≥1n\ge1: (i) an+2a_{n+2} chia hết cho ana_n; (ii) ∣sn+1−(n+1)an∣=1|s_{n+1}-(n+1)a_n|=1, trong đó sn+1=an+1−an+an−1−⋯+(−1)n+1a0s_{n+1}=a_{n+1}-a_n+a_{n-1}-\cdots+(-1)^{n+1}a_0.
Bước 5 trên 5: Nhận diện và kiểm tra hai họ
Bước trướcBước tiếp
an=c(n+2)n!(n≥1),a0=c+1 or c−1a_n=c(n+2)n!\quad(n\ge1),\qquad a_0=c+1\text{ or }c-1
Phân tích chi tiết

Tỉ số tại n=1 cho a_1 chia hết cho ba; viết a_1=3c rồi quy nạp được công thức. Điều kiện tại n=1 cho a_0=c cộng hoặc trừ một. Chặn dưới của a_0 cho c ít nhất 2014 trong trường hợp cộng và ít nhất 2016 trong trường hợp trừ. Cuối cùng dùng đồng nhất thức giai thừa cho tổng luân phiên để kiểm tra cả hai họ.