MathLabs

Bài 1

Ta gọi tam giác ABCABC là tuyệt nếu điều sau đúng: với mọi điểm DD trên cạnh BCBC, nếu PP và QQ lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ DD xuống các đường thẳng ABAB và ACAC, thì điểm đối xứng của DD qua đường thẳng PQPQ nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác ABCABC. Chứng minh rằng tam giác ABCABC là tuyệt khi và chỉ khi ∠A=90∘\angle A=90^\circ và AB=ACAB=AC.
Bước 3 trên 5: Đuổi góc buộc ∠A=90∘\angle A=90^\circ
Bước trướcBước tiếp
∠PD′Q=∠PDQ=180∘−∠BAC,∠PD′Q=∠BAC  ⟹  ∠BAC=90∘\angle PD'Q=\angle PDQ=180^\circ-\angle BAC,\quad \angle PD'Q=\angle BAC \implies \angle BAC=90^\circ
Phân tích chi tiết

Phép đối xứng qua PQPQ bảo toàn góc, nên ∠PD′Q=∠PDQ\angle PD'Q=\angle PDQ, và vì APDQAPDQ nội tiếp với các góc vuông tại PP, QQ nên ∠PDQ=180∘−∠BAC\angle PDQ=180^\circ-\angle BAC. Nhưng D′=AD'=A cho ∠PD′Q=∠PAQ=∠BAC\angle PD'Q=\angle PAQ=\angle BAC. Kết hợp hai biểu thức của ∠PD′Q\angle PD'Q ta được ∠BAC=90∘\angle BAC=90^\circ.