Olympic Toán học Châu Á - Thái Bình Dương · Năm 2016

Đề thi

Bài 1Ta gọi tam giác $ABC$ là tuyệt nếu điều sau đúng: với mọi điểm $D$ trên cạnh $BC$ , nếu $P$ và $Q$ lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ $D$ xuống các đường thẳng $AB$ và $AC$ , thì điểm đối xứng của $D$ qua đường thẳng $PQ$ nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ . Chứng minh rằng tam giác $ABC$ là tuyệt khi và chỉ khi $\angle A=90^\circ$ và $AB=AC$ .Các cách giải: 1
Bài 2Một số nguyên dương được gọi là hào nhoáng nếu nó có thể viết dưới dạng $2^{a_1}+2^{a_2}+\cdots+2^{a_{100}}$ , trong đó $a_1,a_2,\ldots,a_{100}$ là các số nguyên không âm không nhất thiết phân biệt. Tìm số nguyên dương nhỏ nhất $n$ sao cho không có bội số nào của $n$ là số hào nhoáng.Các cách giải: 1
Bài 3Cho $AB$ và $AC$ là hai tia phân biệt không cùng nằm trên một đường thẳng, và $\omega$ là đường tròn tâm $O$ tiếp xúc với tia $AC$ tại $E$ và tia $AB$ tại $F$ . Gọi $R$ là điểm trên đoạn $EF$ . Đường thẳng qua $O$ song song với $EF$ cắt đường thẳng $AB$ tại $P$ . Gọi $N$ là giao điểm của đường thẳng $PR$ và $AC$ , và $M$ là giao điểm của đường thẳng $AB$ với đường thẳng qua $R$ song song với $AC$ . Chứng minh rằng đường thẳng $MN$ tiếp xúc với $\omega$ .Các cách giải: 1
Bài 4Đất nước Dreamland gồm $2016$ thành phố. Hãng hàng không Starways muốn thiết lập một số chuyến bay một chiều giữa các cặp thành phố sao cho mỗi thành phố có đúng một chuyến bay xuất phát từ nó. Tìm số nguyên dương nhỏ nhất $k$ sao cho dù Starways thiết lập các chuyến bay như thế nào, các thành phố luôn có thể được chia thành $k$ nhóm sao cho từ một thành phố bất kỳ không thể đến một thành phố khác trong cùng nhóm bằng cách dùng nhiều nhất $28$ chuyến bay.Các cách giải: 1
Bài 5Tìm mọi hàm số $f:\mathbb{R}^+\to\mathbb{R}^+$ sao cho $(z+1)f(x+y)=f(xf(z)+y)+f(yf(z)+x)$ với mọi số thực dương $x,y,z$ .Các cách giải: 1