MathLabs

Bài 1

Ta gọi tam giác ABCABC là tuyệt nếu điều sau đúng: với mọi điểm DD trên cạnh BCBC, nếu PP và QQ lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ DD xuống các đường thẳng ABAB và ACAC, thì điểm đối xứng của DD qua đường thẳng PQPQ nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác ABCABC. Chứng minh rằng tam giác ABCABC là tuyệt khi và chỉ khi ∠A=90∘\angle A=90^\circ và AB=ACAB=AC.
Bước 4 trên 5: Trung điểm BCBC buộc AB=ACAB=AC
Bước trướcBước tiếp
D=midpoint of BC, ∠BAC=90∘  ⟹  PQ∥BC, DD′⊥BC  ⟹  D′=A  ⟹  AB=ACD=\text{midpoint of }BC,\ \angle BAC=90^\circ \implies PQ\parallel BC,\ DD'\perp BC \implies D'=A \implies AB=AC
Phân tích chi tiết

Bây giờ lấy DD là trung điểm BCBC. Vì ∠BAC=90∘\angle BAC=90^\circ, tam giác DQPDQP (với PP, QQ là chân đường vuông góc từ DD mới này) là tam giác trung bình của ABCABC, nên PQPQ song song BCBC, do đó DD′DD' vuông góc với BCBC. Khoảng cách từ D′D' đến BCBC bằng cả bán kính đường tròn ngoại tiếp ABCABC lẫn khoảng cách từ AA đến BCBC; điều này buộc D′=AD'=A, chỉ có thể xảy ra khi ABCABC cân, tức AB=ACAB=AC. Cùng với ∠BAC=90∘\angle BAC=90^\circ, điều này chứng minh chiều thuận.