MathLabs

Bài 1

Ta gọi tam giác ABCABC là tuyệt nếu điều sau đúng: với mọi điểm DD trên cạnh BCBC, nếu PP và QQ lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ DD xuống các đường thẳng ABAB và ACAC, thì điểm đối xứng của DD qua đường thẳng PQPQ nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác ABCABC. Chứng minh rằng tam giác ABCABC là tuyệt khi và chỉ khi ∠A=90∘\angle A=90^\circ và AB=ACAB=AC.
Bước 5 trên 5: Điều kiện đủ: tam giác vuông cân là tuyệt
Bước trướcBước tiếp
∠BAC=90∘, AB=AC  ⟹  ∠BD′C=∠PDQ=90∘\angle BAC=90^\circ,\ AB=AC \implies \angle BD'C=\angle PDQ=90^\circ
Phân tích chi tiết

Ngược lại, giả sử ∠BAC=90∘\angle BAC=90^\circ và AB=ACAB=AC, lấy DD là điểm bất kỳ trên BCBC với PP, QQ là hình chiếu lên ABAB, ACAC và D′D' là điểm đối xứng của DD qua PQPQ. Vì D′P=DP=BPD'P=DP=BP và D′Q=DQ=CQD'Q=DQ=CQ, và APDQD′APDQD' nằm trên một đường tròn đường kính PQPQ, ta có ∠BPD′=∠CQD′\angle BPD'=\angle CQD', nên tam giác D′PBD'PB và D′QCD'QC đồng dạng; từ đó ∠PD′Q=∠BD′C\angle PD'Q=\angle BD'C, và vì tam giác DPQDPQ và D′PQD'PQ bằng nhau, ∠BD′C=∠PDQ=90∘\angle BD'C=\angle PDQ=90^\circ. Vậy D′D' nằm trên đường tròn đường kính BCBC, chính là đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông cân ABCABC, chứng tỏ ABCABC là tuyệt.