MathLabs

Bài 3

Cho ABAB và ACAC là hai tia phân biệt không cùng nằm trên một đường thẳng, và ω\omega là đường tròn tâm OO tiếp xúc với tia ACAC tại EE và tia ABAB tại FF. Gọi RR là điểm trên đoạn EFEF. Đường thẳng qua OO song song với EFEF cắt đường thẳng ABAB tại PP. Gọi NN là giao điểm của đường thẳng PRPR và ACAC, và MM là giao điểm của đường thẳng ABAB với đường thẳng qua RR song song với ACAC. Chứng minh rằng đường thẳng MNMN tiếp xúc với ω\omega.
Bước 2 trên 5: Đường tròn phụ và một cặp đồng dạng đầu tiên
Bước trướcBước tiếp
Q=PO∩AC, Y=PO∩⊙(AM′O),∠AYM′=∠AOM′=90∘−∠M′OP,∠EOQ=∠FOP=∠M′AO=∠M′YPQ=PO\cap AC,\ Y=PO\cap\odot(AM'O),\quad \angle AYM'=\angle AOM'=90^\circ-\angle M'OP,\quad \angle EOQ=\angle FOP=\angle M'AO=\angle M'YP
Phân tích chi tiết

Gọi Q=PO∩ACQ=PO\cap AC và YY là giao điểm thứ hai của đường thẳng POPO với đường tròn ngoại tiếp △AM′O\triangle AM'O; chú ý ∠AOM′=90∘−∠M′OP\angle AOM'=90^\circ-\angle M'OP vì OAOA chia đôi góc giữa hai bán kính tiếp tuyến. Đuổi góc quanh OO cho ∠EOQ=∠FOP=∠M′AO=∠M′YP\angle EOQ=\angle FOP=\angle M'AO=\angle M'YP, và tương tự ∠EQO=∠M′PY\angle EQO=\angle M'PY, nên △M′YP∼△EOQ\triangle M'YP\sim\triangle EOQ.