Bài 5

Tìm mọi hàm số

f:\mathbb{R}^+\to\mathbb{R}^+

sao cho

(z+1)f(x+y)=f(xf(z)+y)+f(yf(z)+x)

với mọi số thực dương

x,y,z

Bước 3 trên 8: Tính cộng tính trên các tổng bằng nhau

Bước trước Bước tiếp

a+b=c+d \implies f(a)+f(b)=f(c)+f(d)

Phân tích chi tiết

Cho $a,b,c,d>0$ với $a+b=c+d$ , tính không bị chặn của $f$ cho phép ta chọn $e$ với $f(e)$ lớn hơn $1,a/b,b/a,c/d,d/c$ . Áp dụng bổ đề với $c=f(e)$ cho các cặp $(a,b)$ và $(c,d)$ cho ra $u,v,w,t>0$ với $f(e)u+v=a$ , $u+f(e)v=b$ , $f(e)w+t=c$ , $w+f(e)t=d$ , và kiểm tra được $u+v=w+t$ vì $(u+v)(f(e)+1)=a+b$ và $(w+t)(f(e)+1)=c+d$ . Thay $x=u,y=v,z=e$ vào phương trình hàm cho $f(a)+f(b)=(e+1)f(u+v)$ ; tương tự $f(c)+f(d)=(e+1)f(w+t)$ , và khẳng định được suy ra.