Bài 5

Tìm mọi hàm số

f:\mathbb{R}^+\to\mathbb{R}^+

sao cho

(z+1)f(x+y)=f(xf(z)+y)+f(yf(z)+x)

với mọi số thực dương

x,y,z

Bước 4 trên 8: Suy ra

yf(x)=f(xf(y))

Bước trước Bước tiếp

(y+1)f(x)=f\!\left(\tfrac{x}2f(y)+\tfrac x2\right)+f\!\left(\tfrac{x}2f(y)+\tfrac x2\right)=f(xf(y))+f(x) \implies yf(x)=f(xf(y))

Phân tích chi tiết

Thay $x=y=\tfrac x2$ và $z=y$ vào phương trình hàm cho $(y+1)f(x)$ bằng hai lần cùng một số hạng $f(\tfrac x2f(y)+\tfrac x2)$ . Tổng hai đối số này bằng $xf(y)+x$ , cũng bằng tổng $xf(y)+x$ tách thành số hạng $xf(y)$ và số hạng $x$ ; theo tính cộng tính trên tổng bằng nhau (bước 3), hai lần số hạng đó bằng $f(xf(y))+f(x)$ . Do đó $(y+1)f(x)=f(xf(y))+f(x)$ , nên $yf(x)=f(xf(y))$ với mọi $x,y>0$ .