Bài 5

Tìm mọi hàm số

f:\mathbb{R}^+\to\mathbb{R}^+

sao cho

(z+1)f(x+y)=f(xf(z)+y)+f(yf(z)+x)

với mọi số thực dương

x,y,z

Bước 5 trên 8: Chứng minh

f(1)=1

Bước trước Bước tiếp

a:=f(1/f(1)):\quad f(a)=1,\ \ af(a)=f(af(a))=1 \implies a=1 \implies f(1)=1

Phân tích chi tiết

Đặt $a=f(1/f(1))$ . Thay $x=1$ , $y=1/f(1)$ vào $yf(x)=f(xf(y))$ cho $f(a)=1$ . Vì $f(a)=1$ , hiển nhiên $a=af(a)$ và $f(af(a))=f(a)=1$ ; nhưng hệ thức $yf(x)=f(xf(y))$ tại $x=y=a$ cho $af(a)=f(af(a))$ , nên $a=f(af(a))=1$ . Vì $f(a)=1$ và $a=1$ , ta kết luận $f(1)=1$ .