MathLabs

Bài 5

Tìm mọi hàm số f:R+→R+f:\mathbb{R}^+\to\mathbb{R}^+ sao cho (z+1)f(x+y)=f(xf(z)+y)+f(yf(z)+x)(z+1)f(x+y)=f(xf(z)+y)+f(yf(z)+x) với mọi số thực dương x,y,zx,y,z.
Bước 7 trên 8: Xác định hằng số cộng tính
Bước trướcBước tiếp
f(x+y)=f(x)+f(y)+b,b=f(2)−2f(1)=f(2)−2,4+2b=2f(2)=f(f(2)+f(2))=f(f(2))+f(f(2))+b=4+b  ⟹  b=0f(x+y)=f(x)+f(y)+b,\quad b=f(2)-2f(1)=f(2)-2,\quad 4+2b=2f(2)=f(f(2)+f(2))=f(f(2))+f(f(2))+b=4+b \implies b=0
Phân tích chi tiết

Áp dụng tính cộng tính trên tổng bằng nhau hai lần, f(x+y)+f(1)=f(x)+f(y+1)f(x+y)+f(1)=f(x)+f(y+1) và f(y+1)+f(1)=f(y)+f(2)f(y+1)+f(1)=f(y)+f(2); kết hợp lại cho f(x+y)=f(x)+f(y)+bf(x+y)=f(x)+f(y)+b với mọi x,y>0x,y>0, trong đó b=f(2)−2f(1)=f(2)−2b=f(2)-2f(1)=f(2)-2. Dùng yf(x)=f(xf(y))yf(x)=f(xf(y)), phép đối hợp f(f(y))=yf(f(y))=y, và hệ thức cộng tính này tại x=y=2x=y=2, ta tính được 4+2b=2f(2)=f(2f(2))=f(f(2)+f(2))=f(f(2))+f(f(2))+b=4+b4+2b=2f(2)=f(2f(2))=f(f(2)+f(2))=f(f(2))+f(f(2))+b=4+b, buộc b=0b=0.