Bài 5

Tìm mọi hàm số

f:\mathbb{R}^+\to\mathbb{R}^+

sao cho

(z+1)f(x+y)=f(xf(z)+y)+f(yf(z)+x)

với mọi số thực dương

x,y,z

Bước 8 trên 8: Kết luận

f(x)=x

Bước trước Bước tiếp

f(x+y)=f(x)+f(y) \implies f \text{ strictly increasing},\quad f(x)>x \text{ or } f(x)<x \text{ both impossible} \implies f(x)=x

Phân tích chi tiết

Với $b=0$ , $f(x+y)=f(x)+f(y)$ với mọi $x,y$ dương, nên $f$ tăng ngặt. Nếu $f(x)>x$ với một $x$ nào đó, áp dụng tính tăng ngặt của $f$ cùng phép đối hợp cho $f(f(x))>f(x)$ , tức $x>f(x)$ , mâu thuẫn với $f(x)>x$ ; tương tự $f(x)<x$ cũng không thể xảy ra. Vậy $f(x)=x$ với mọi số thực dương $x$ .